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Cercare di capire se il gatto è vivo o morto non è la priorità della meccanica quantistica, perciò non preoccuparti troppo per la vita del gatto e affronta questo viaggio attraverso le basi della meccanica quantistica con noi Makers.

Introduzione*

La meccanica quantistica è circondata da un alone di mistero e da una miriade di aneddoti molto famosi. Potrà sembrarti una materia mistica e inarrivabile, utilizzata per imprese fantascientifiche come il teletrasporto e i super-computer quantistici ma in realtà la meccanica quantistica ha origini più “umili” che ti spieghiamo QUI.

Questa disciplina è utilizzata molto non solo in fisica ma anche in chimica. La spettroscopia utilizza molti modelli e approssimazioni quantistiche per studiare l’interazione tra la radiazione elettromagnetica e la materia a livello atomico e molecolare. La composizione dei corpi celesti e la scoperta di nuove molecole non presenti sulla terra tramite l’astrochimica si spiegano solo attraverso la meccanica quantistica.

Interpretazione di Copenaghen

Esistono diverse interpretazioni della meccanica quantistica, la prima proposta e più diffusa è l’interpretazione di Copenaghen.
Alcuni pilastri di tale interpretazione comunemente accettati sono:

1. La meccanica quantistica è intrinsecamente probabilistica e non deterministica
2. I risultati della meccanica quantistica devono ridursi a quelli della meccanica classica nelle condizioni in cui i risultati classici siano attendibili. (PRINCIPIO DI CORRISPONDENZA)
3. La funzione d’onda restituisce delle probabilità (ottenibili con la legge di Born) per i risultati delle misurazioni eseguite sul sistema.
4. Non si può osservare contemporaneamente la duplice natura dei fenomeni atomici (es. onda/particella) durante lo stesso esperimento. (PRINCIPIO DI COMPLEMENTARITÀ)

Non spaventarti se nel prossimo capitolo vedrai operazioni matematiche e concetti di algebra lineare che non conosci, l’importante è cogliere l’idea di base.

Postulati della meccanica quantistica

Passiamo ora ai postulati che costituiscono la base della meccanica quantistica sui quali si sono basate tutte le scoperte e teorie oggi in uso.

–stati quantici e funzioni d’onda:

Lo stato di un sistema è descritto dalla funzione d’onda Ψ(r1,r2,…,t). Il termine “descritto” significa che la funzione d’onda contiene tutte le informazioni sulle proprietà del sistema descrivibili sperimentalmente.

-operatori

Le osservabili (grandezze ricavabili sperimentalmente) sono rappresentate da operatori hermitiani che devono soddisfare le regole di commutazione:

q e q’ indicano due diverse coordinate spaziali (es. x, y, z…) e p_q quantità di moto (m*v) sulla rispettiva coordinata q. δqq’ è la delta di Kronecker.

Gli operatori Ô sono hermitiani perciò garantiscono che le osservabili siano numeri reali.

CAPIAMOCI MEGLIO
*Gli operatori possono essere visti come funzioni che agiscono su spazi lineari rappresentabili tramite le matrici.
*Il commutatore è un’operazione matematica molto semplice definita nel seguente modo: [A,B] = (A*B) – (B*A)

-valore d’aspettazione e osservabili

Il valore medio dell’osservabile in una serie di esperimenti associata ad un operatore Ô è pari al valore d’aspettazione ⟨Ô⟩

Se la funzione d’onda è un’ autofunzione dell’operatore Ô applicato allora il valore d’aspettazione coincide con l’autovalore “o” associato a tale operatore.

In tutti gli altri casi la funzione d’onda può essere espressa come combinazione lineare di autofunzioni dell’operatore (PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE).

CAPIAMOCI MEGLIO
*La strana notazione con i simboli “maggiore e minore” è la notazione di Dirac o bra-ket ed è usata per “risparmiare tempo durante i calcoli”. È una notazione molto compatta e maneggevole che permette in molti casi di tralasciare simboli come quelli degli integrali.
*Se si misura il sistema la funzione d’onda che lo rappresenta collassa in una delle possibili autofunzioni che la compongono. (COLLASSO DELLA FUNZIONE D’ONDA) Questo “fenomeno” ha lo sconcertante significato (dal punto di vista classico) che una funzione che prima della misura era la sovrapposizione di molteplici autostati, di colpo si riduce ad uno solo!!!
*Schrödinger inventa il paradosso del “gatto vivo o morto” per criticare il principio di sovrapposizione, uno dei cardini dell’interpretazione di Copenaghen.

-interpretazione di Born

La densità di probabilità che una particella sia trovata in un dato volume in un dato punto dello spazio è proporzionale al quadrato della funzione d’onda, inoltre la densità di probabilità della particella in tutto lo spazio è pari a 1.

-equazione di Schrödinger (operatore evoluzione temporale)

L’evoluzione nel tempo della funzione d’onda Ψ(r1,r2,…,t) si descrive tramite l’equazione di Schrödinger ( lo scienziato del paradosso del gatto vivo o morto)

E una equazione agli autovalori in cui l’operatore hamiltoniano Ĥ descrive l’energia totale del sistema.

MODELLI

-PARTICELLA NELLA SCATOLA MONODIMENSIONALE

La risoluzione più semplice dell’equazione di Schrödinger è quella della particella nella scatola.
Essa riguarda una particella posta in una scatola monodimensionale, la quale non potrà muoversi liberamente, ma potrà assumere posizioni comprese tra 0 e L (in cui L è la lunghezza della scatola).

Al di fuori delle pareti della scatola la particella assume valori di potenziale infiniti, mentre all’interno di essa sarà nullo.
L’equazione di Schrödinger all’interno della scatola sarà uguale a quella precedentemente presentata, riferita alla particella libera. Tuttavia, non tutte le soluzioni saranno accettabili.

Per fare in modo che vengano rispettate le condizioni al contorno e la condizione di normalizzazione, la funzione non potrà assumere tutti i valori possibili di R.
Si può dimostrare, quindi, che i livelli energetici possibili per una particella nella scatola sono dipendenti da n e dalla sua funzione d’onda corrispondente.
Ossia l’energia che la particella nella scatola può assumere sarà quantizzata.
Essa potrà assumere solo valori discreti di energia, detti LIVELLI ENERGETICI.

Puoi estendere questo modello su più dimensioni rendendo la scatola bidimensionale, tridimensionale, ecc… e la forma della scatola può essere modificata passando ad anelli e sfere. Dai un’occhiata QUI.

Applicazioni della particella nella scatola

Il modello della particella nella scatola si usa in chimica per studiare gli elettroni di molecole con doppi legami coniugati. L’elettrone può essere paragonato ad una particella confinata in una scatola della dimensione del sistema coniugato (evidenziato in figura), ciò ti permette di prevedere le proprietà ottiche (come il colore assunto dalla molecola considerata) attraverso semplici calcoli. Se non l’hai ancora fatto dai un’occhiata alle proprietà ottiche della curcumina.

È possibile calcolare per esempio la lunghezza d’onda della luce assorbita dal carotene che corrisponde al salto dell’elettrone tra due livelli energetici consecutivi ben precisi. Questi livelli sono N/2 e (N/2)+1 dove N è il numero totale di atomi del sistema coniugato. Considerando N (22 atomi di carbonio del sistema coniugato), m la massa dell’elettrone (9,11*10^-31 Kg) e l la lunghezza media del legame chimico (1*10^-10 m)

La lunghezza d’onda (misurata sperimentalmente) assorbita dalla molecola di carotene è 480 nm(blu-verde) cioè di colore complementare all’arancione.
Con il modello della particella nella scatola si ottiene ottiene 632 nm che è diverso dal valore sperimentale di 1,3 volte. Questo accade perché con l’applicazione del modello su molecole reali si trascurano molte altre interazioni fra i vari elettroni che si trovano nel sistema elettronico. I calcoli perciò forniscono un dato indicativo. Puoi ripetere i calcoli cambiando N a seconda della dimensione del sistema di doppi legami coniugati scoprendo quale radiazione interagisce con la molecola di tuo interesse, ricordati di valutare l’errore di 1,3-2 volte.

-OSCILLATORE ARMONICO

Nel caso monodimensionale la forza elastica è prodotta dallo scostamento della massa  dal punto di equilibrio ed è espressa come

Dato che la forza che agisce sulla particella corrisponde a 

Ne consegue che l’energia potenziale dipenderà da x secondo la seguente relazione

assumerà cioè una forma parabolica, con potenziale nullo per  x=0 

Alla stregua della particella nella scatola, risolvendo l’equazione di Schrödinger, risulterà

Dalla risoluzione dell’equazione, si ricava che l’energia dell’oscillatore armonico sarà quantizzata, quindi assumerà valori discreti, pari a 

con v = 1, 2, 3, … e μ la massa ridotta.
All’aumentare di ν la funzione d’onda risulta più ampia ai bordi, inoltre a differenza della particella nella scatola (in cui il parametro n parte da 1) il parametro v parte dal valore 0 e restituisce un’energia chiamata energia di punto zero.

Applicazioni dell’oscillatore armonico

La spettroscopia vibrazionale studia i moti vibrazionali delle molecole e si basa sul modello dell’oscillatore armonico. Data una determinata molecola puoi calcolare la “forza” del legame chimico che unisce gli atomi. Prendiamo ad esempio la molecola di acido cloridrico e determiniamo la costante di forza elastica del legame. Leggendo lo spettro infrarosso dell’acido cloridrico determiniamo la frequenza della banda Q (spazio centrale vuoto dello spettro vibro-rotazionale) 2990 cm^-1.

Considerando le masse di H e Cl rispettivamente 1 uma e 35 uma si calcola μ la massa ridotta dell’oscillatore.

La costante elastica si ricava con la formula inversa della frequenza dell’oscillatore armonico

Nota che la costante elastica del legame chimico che forma la molecola di acido cloridrico HCl è elevata. Ora sei in grado anche tu di calcolare la “forza” dei legami chimici partendo dalle frequenze di vibrazione lette sugli spettri vibrazionali. Se vuoi anche identificare i composti organici incogniti dallo spettro leggi la nostra pagina sulla spettroscopia infrarossa.

Il gatto è vivo o morto?

Se sei arrivato/a fino a questo punto e ti stai ancora domandando se il gatto è vivo o morto ti lasciamo un link per toglierti tutti i dubbi.

Curiosità

-Il modello della particella nella scatola si usa anche per studiare nuclei atomici, atomi, molecole e quantum dots.
-se vuoi sapere quali molecole ci sono nello spazio clicca QUI

“Le idee audaci e ambiziose degli anticonformisti hanno sempre rappresentato le pietre miliari del progresso scientifico”

J.M.Jauch

Con questo noi makers speriamo di avervi incuriositi e di avervi dato le basi per approfondire la meccanica quantistica senza alcun timore.

Makers ITIS Forlì: https://www.makers-itis-forli.it 

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